Wybrałem dwie proste zagadki z książki Ayresa o rozwoju analizy statystycznej we współczesnym świecie. Pierwsza zagadka sprawdza znajomość konceptu odchylenia od średniej o więcej niż dwa odchylenia standardowe. Druga zagadka sprawdza umiejętność wiązania ze sobą różnych prawdopodobieństw w prawdopodobieństwo warunkowe.
Zagadka 1
Przeciętny wzrost dorosłego mężczyzny wynosi 175 cm. Odchylenie standardowe to 7,5 cm. W biurze, które wyposażasz, pracować ma 200 mężczyzn. Ilu z nich potrzebować będzie ekstra dużych biurek dla osób wyższych niż 190 cm?
Zagadka 2
Beata i Basia mają po 40 lat. Zrobiły sobie badania mammograficzne. 1% z czterdziestoletnich kobiet, które robią te badania ma raka piersi. Wśród kobiet z rakiem piersi, 80% będzie miało pozytywny (zły) wynik mammografii. Pozytywny wynik mammografii mieć będzie też 10% kobiet, które nie mają raka piersi.
Beata miała pozytywny wynik mammografii. Jakie jest prawdopodobieństwo, że ma raka piersi?
Basia miała negatywny wynik mammografii. Jakie jest prawdopodobieństwo, że ma raka piersi?
Czy są to trudne zadania? Myślę, że przeciętny mieszkaniec Polski miałby problem je rozwiązać. Dla wielu czytelników mogą się wydać banalnie proste – co dobrze będzie świadczyć o ich zdolnościach do przeprowadzania prostych działań na liczbach. W każdym razie, znajomość podstaw matematyki i statystyki przydaje się w życiu i ośmielę się postawić tezę, że jest to wiedza, która można zdobyć w kilka, może kilkanaście, weekendów.
Zgadzam sie, z tym ze ta wiedza musi miec przelozenie na praktyke. Przykladowo niewiele osob zdaje sobie sprawe, ze pozyczajac pieniadze na 15% z banku i inwestujac je na 10% na ten sam okres, zarobi sie z duza nawiazka ;]
@ GarbeeQ
Jak chcesz to zrobic?
@Trystero
Modelowo:
1. pozyczka z banku 1000 zl na 2 lata na 15%, rata: 48,49zl, do splaty w calosci: 1163,68 zl
2. inwestycja pozyczonych pieniedzy na 2 lata na 10%, kapital koncowy: 1220,39 zl
Przy uwzglednieniu podatkow moze sie troche zmienic. Poza tym zakladam ’stalosc’ inwestycji na poziomie 10%, niezmiennosc oprocentowania pozyczki oraz fakt, ze miesiecznie nasze przychody pokrywaja raty pozyczki nie naruszajac jednoczesnie kapitalu inwestycyjnego.
Chodzilo mi tylko o pokazanie mechanizmu. Po uwzglednieniu wszystkiego z powyzszych i poszukanie rzeczywistych produktow daje wymierne korzysci. Polecam.
IMHO ludzie dzielą się na tych, którzy naukę (tzn uczenie się) odczuwają jako przyjemność i rozrywkę, i na tych którzy naukę traktują jako zło, którego należy unikać.
Ci pierwsi stojąc przed opisanym problemem, sami się nauczą jak to policzyć. Dla nich problemem będzie tylko brak czasu, bo tyle ciekawych rzeczy do nauczenia się jest dookoła nich :) że muszą z części rezygnować.
Ci drudzy przerwą czytanie, zanim dotrą do końca pytania.
@ GarbeeQ
Ale zdajesz sobie sprawe, ze jesli miesiecznie nasze przychody pokrywaja raty pozyczki nie naruszajac jednoczesnie kapitalu inwestycyjnego to tak naprawde wcale nie inwestujemy pozyczonych pieniedzy, tylko nasze dochody i pozyczone pieniadze?
A wiec Twoj przyklad nie ma racji bytu poniewaz jesli pozyczysz z banku 1000 zl na 2 lata na 15% i zainwestujesz ten 1000 zl na 2 lata na 10% to stracisz!
@Trystero
Dobrze, bardziej zyciowo:
1. pozyczam pod hipoteke 100000zl na 9% na 20 lat, rata miesieczna: 899,73 zl
2. pozyczone 100000zl wsadzam na lokate 5% na 20 lat (z uwzglednieniem podatku Belki, czyli realnie na 4,05%)
Miesiecznie place do banku prawie 900zl, po 20 latach oddam w sumie: 215934,23 zl
ale na lokacie po tych 20 latach mam: 224484,44 zl
Zysk: 8550,21 zl
Trystero, nie wiem czemu Pan twierdzi ze stracilem ?
@ GarbeeQ
Twierdze, ze straciles poniewaz nie uwzgledniasz, ze z kazdym miesiacem Twoja lokata jest o 900 zl mniejsza. Po 5 latach, nie masz juz 100 000 tylko 46 000 + odsetki. Zrob sobie arkusz w Excellu i uwzglednij w nim, ze z kazdym kolejnym miesiacem Twoj kapital zmniejsza sie o 900 zl!
Ale przecież spłacając kredyt musisz wykładać swoją kasę, co oznacza, że nie może ona pracować gdzieś indziej, nie?
@GarbeeQ,
Przeczytaj najpierw (jeśli znasz angielski) ten wpis w Wikipedii:
http://en.wikipedia.org/wiki/Present_Value
Po czym powinieneś już wiedzieć, co za błąd popełniasz.
Poza tym gratuluję. Banki muszą Cię kochać :)
@Trystero
Jak napisalem w 3. “miesiecznie nasze przychody pokrywaja raty pozyczki nie naruszajac jednoczesnie kapitalu inwestycyjnego”, wiec nie ma Pan racji. Piszac “miesieczne przychody” mialem na mysli przychody z innych zrodel anizeli rzeczona inwestycja.
Uwzgledniajac jednak to, co Pan pisze w 7., tu nie mozna polemizowac. Aby stalo sie to nieprawda, oprocentowanie inwestycji musi byc ‘znaczaco’ wyzsze.
@poszi
Pisze Pan o PV w odniesieniu do czego ? Nie bardzo rozumiem.
Trystero założył, że co miesiąc wypłacasz z lokaty tyle ile potrzeba na spłatę raty. Nie naruszasz własnego kapitału ale odsetko z lokaty z czasem maleją.
Krasus założył, że lokaty nie ruszasz przez 20 lat, ale angażujesz własny kapitał i nie uwzględniasz zystków któe bys osiągnął gdybyś mógł nim dysponować.
Uwaga, ponizej odpowiedzi (nie wiem czy poprawne):
-
-
-
Odp.1: okolo 5-ciu
Odp.2: Beata 7.47% ze ma raka. Basia 0.22% ze ma raka.
A teraz mnie poprawcie ;)
Pozdr.
Licze na 5%
@GarbeeQ,
Policz sobie PV strumienia spłat oraz PV tego, co będzie pod koniec lokaty. Zamiast PV można liczyc FV (future value) i porównac to na końcu. To drugie jest o tyle proste, że FV lokaty będzie równe 224484,44 (nie trzeba będzie nic przeliczać). Ale FV strumienia spłat nie jest równe 215934,23 zl tylko dużo więcej.
@ GarbeeQ
Ok, chyba wiem jak pokazac Ci gdzie popelniasz blad.
Zapomnij o kredycie i odkladaj przez 20 lat 900 zl miesiecznie na lokate. Przy rocznej kapitalizacji zarobisz na odsetkach ponad 150 000!
Teraz porownaj to ze ’swoim’ zyskiem i powiedz po jakiego pierona chcesz brac ten kredyt :)
@ licze na 5%
Nie trzeba Cie poprawiac.
@GarbeeQ
To może prościej.
Gdybyś te 900 zł. odkładał co miesiąc na lokatę zamiast spłacać bezsensowny kredyt to po 20 latach będziesz miał zysk kilkanaście razy większy niż te śmieszne 8,5 tys.
@Trystero
Chce pokazac, ze stereotyp “pozycz taniej, zainwestuj drozej” nie zawsze ma racje bytu.
Ładnie statystykę (dla nieprofesjonalistów) przybliża ta pozycja
75 sposobów na statystykę. Jak zmierzyć świat i wygrać z prawdopodobieństwem Autor: Bruce Frey
http://helion.pl/ksiazki/75stat.htm niestety niedostępna
A niezłe zamieszanie w postrzeganiu rach. prawdopodobieństwa robi The Monty Hall Problem , kto nie wierzy może nawet pograć i przetestować.
http://www.nytimes.com/2008/04/08/science/08monty.html?_r=3
GarbeeQ !!!
właśnie wymyśliłeś finansowe perpetum mobile !!! Ty zadowolony no i bank bo przecież bank może udzielić Ci kredytu pod zastaw przyszłej lokaty, którą przecież założysz z kredytu.. a więc super zastaw :D
@ RobertP
Przez The Monty Hall Problem to mnie znajomi z Politechniki pobic chcieli, bo twierdzili, ze jest po 50% :)
@ GarbeeQ
Wybrales nienajlepszy przyklad.
@GarbeeQ
Jak by Ci tu odpowiedzieć by Cię nie urazić?
Może tak:
Oprocentowanie miesięczne pożyczki:
octave:Home> a=1+0.09/12
a = 1.00750000000000
Zatem miesięczna rata jest taka jak piszesz:
octave:Home> b=100000*a^(20*12)*(a-1)/(a^(20*12)-1)
b = 899.725955850178
Teraz zakładasz, że będziesz trzymał tę pożyczkę na lokacie a z osobnych wpływów będziesz spłacał raty.
No to gdybyś nie brał pożyczki tylko te osobne wpływy wkładał na te 5% w rocznych (odnawialnych) lokatach to byś po 20 latach miał (uproszczenie – zbierasz raty przez cały rok i później zakładasz jedną lokatę):
octave:Home> 12*b*(a^20-1)/(a-1)
ans = 323178.401430243
Oszczędziłeś jak ta lala :D
@ignorant
Zgadza sie.
Oj, nie odświeżyłem strony. Już Trystero Ci odpowiedział.
@Licze, Trystero
Może czegoś nie zrozumiałem, ale wydaje mi się, że odpowiedź na pierwsze zadanie jest jednak mniejsza niż 5%. Przy rozkładzie normalnym w odległości 2-sigmowej mieści się około 95,5% przypadków, ale w zadaniu pytanie jest o jednostronną odległośc, czyli około 2,2%.
Rysunek z Wikipedii dla ilustracji:
http://pl.wikipedia.org/w/index.php?title=Plik:Standard_deviation_diagram_(decimal_comma).svg&filetimestamp=20091210064304
@Yulle
Ale jest 200 męźczyzn, a nie 100. Dlatego 2,25 x 2 = 4,5 czyli circa 5.
@licze na 5% – jak liczysz prawdopodobieństwa? Bardzo nieintuicyjny wynik zwłaszcza w przypadku osoby z pozytywnym wynikiem badania.
@Licze
Jak policzyć prawdopodobieństwa w zadaniu z mammografią? Prawdopodobieństwo Beaty jest mocno nieintuicyjne (ale może to czytanie treści zadania ze zrozumieniem u mnie szwankuje)…
@ rgap
Pokombinuj jak kon pod gorke to sobie poradzisz bez twierdzenia Bayesa
Masz 1000 kobiet. 10 ma raka (1%). Z tych 10 pozytywny wynik mammografii (M) bedzie miec 8 (80%). Z 990 kobiet bez raka 99 bedzie miec pozytywny wynik M (10%). No to liczymy tak jakbysmy niewiedzieli czy Beata ma raka. W grupie 1000 kobiet bedzie 107 pozytywnych wynikow M. Z tej grupy 8 kobiet bedzie miec raka. Czyli 8 ze 107, czyli jakies 7,5%.
@rgap
zrób sobie tabelkę dla populacji, powiedzmy, 1000 osób. W kolumnach osoby z rakiem i zdrowe. W wierszach osoby z testem pozytywnym i negatywnym. Suma z kolumny zdrowe powinna być 990 (99%), suma z rakiem 10. W kolumnie z rakiem 8 osób jest w wierszu pozytywne, 2 w negatywnym. W kolumnie zdrowe odpowiednio 99 i 891. Potem już łatwo policzyć, i nie trzeba się znać z panem Bayesem.
ok, gospodarz mnie wyprzedził o 2 min.
@ RobertP, 19
Dobra ta książka, którą poleciłeś, wreszcie coś dla humanistów ;) Fragmenty są zachęcające.
beata 47%, basia 2,40%
poprawka 7,47% 0,22% :)
Zawsze mówiłem, że nigdzie nie spotkałem się z taką kulturą wypowiedzi komentatorów jak na tym blogu. Dzisiejsze komentarze – cierpliwych wyjaśnień – tylko mnie w tym przekonują:)
Heh ten sam myk co GarbeeQ zrobił doradca finansowy którego miałem przyjemność gościć. Usiłował wmówić mi, że zarobię jeśli wezmę kredyt na okres 5 lat dłuższy a różnicę w ratach wpłacę na lokatę. Rysował mi w zachwycie takie ładne wykresy całek. Przez moment miałem wrażenie, że on autentycznie w to wierzy. Ciekawe co teraz robi…
@ Trystero, offtopic
Pisałeś kiedyś o “jingle mails” – w większości stanów tak pięknie nie jest:
“Według U.S. Foreclosure Network, organizacji skupiającej firmy prawnicze zajmujące się hipotekami, w przypadku przejęć bankowych kredytodawca może dochodzić wierzytelności w ponad 30 stanach, w tym na Florydzie, w Nowym Jorku oraz Teksasie.
W niektórych stanach, takich jak Kalifornia, przepisy nie zezwalają na orzeczenia o stratach banku, ale nawet tam w przypadku refinansowania kredytu bank może dochodzić pokrycia niedoboru”.
Całość:
http://biznes.onet.pl/osoby-ktore-stracily-domy-caly-czas-musza-je-splac,18496,3171397,1,news-detal
@dorota,
To nie jest żadna nowość. Ktokolwiek, kto robi jingle mail, powinien to wpierw skonsultować z prawnikiem. W wielu stanach jednak dla odmiany (m.in. na Florydzie) w nagrode są bardzo liberalne przepisy odnośnie tego, co można zachować w wypadku bankructwa.
Sprawa jest o tyle ciekawa, że w przeszłości banki się praktycznie nie bawiły w próby ściągniecia niedoboru, bowiem znakomita większość osób, które przestały płacić i tak były bez grosza przy duszy. A ponieważ całe to śledztwo i sądowa akcja kosztują, nie warto było jej wszczynać. Teraz jednak, skoro takich osób, które mogą płacić, a robią jingle mail jest więcej, sprawa się może zmienić.
Zadanie1.
Matematyk: niestety za mało danych. Czy może Pan coś więcej powiedzieć o zatrudnionych? Tak. Zatrudniłem byłych koszykarzy NBA. Każdy ma co najmniej 190 cm.
Ooo!
Statystyk praktyk: no tak, średnio biorąc tak z prawd. 97,7% wszyscy mają poniżej 190 cm wzrostu. Z prawd. 2,3% zatrudniłeś ludzi >= 190 cm. Zatem zamów większe biurka dla jakiś 5 osób i wtedy masz ~100% pewności, że będzie OK.
Maratończyk, który wygrał już wiele maratonów: wydaje mi się, że wystarczy kilka czy kilkanaście treningów a skoczę ponad 1,50 metra wzwyż. Tak, pokiwali z większym czy z mniejszym entuzjazmem inni maratończycy. Chyba tak, pokiwali głową bez entuzjazmu bracia syjamscy zrośnięci kręgosłupem.
PS.
Niestety obawiam się, że kilka czy kilkanaście wieczorów to za mało dla większości. Wydaje mi się, że dla bardzo wielu nie wystarczy nawet wiele set.
Trystero a próbowałeś udzielac korepetycji ludziom ze “szkół wyższych” z zakresu analizy matematycznej lub własnie wstepu do rachunku prawdopodobieństwa lub samego rachunku? Otóż twierdzę że dla wielu nawet studentów ten materiał jest kompletnie niemozliwy do przyswojenia!! A tak z innej beczki to osobiście uważam że aksjomatyka Arystotelesa kompletnie wypacza myslenie ludzi co prowadzi do powstawania systemów myślenia zbudowanego na porównaniu czego świadkami jesteśmy i musimy niestety przebywać w tym systemie. A statystyka to największa “kurwa” nauki.
Pozdrawiam
Mam pytanie. Gdzie mozemy poznac tzw. yeld curve roznice miedzy opeocentowaniem 10 letnim a 3 miesiecznym. Wydaje sie, ze chyba przektoczylo 0 (stalo sie ujemne) ale jaka jest dynamika? Dla polskich obligacji w sumie tez mozna by policzyc ;-)
Ciekawy temat.
@ wszyscy
Ok, przepraszam za brak aktywnosci ‘pod kreska’ ale mialem troche rzeczy do zalatwienia poza domem (miejscem pracy), a w czasie sesji gieldowej bylem zajety :)
@ Manta, 41
Yield curve dla ważniejszych bondów masz w Bloombergu:
http://www.bloomberg.com/markets/rates/index.html
Wypłaszcza sie, ale do “inverted” jeszcze daleko.
@21
Trystero, Mlodinov w Matematyce niepewnosci cytuje listy wzburzonych matematyków, które napływały do gazety w której niejaka Marylin von Savant prowadziła rubryke “zapytaj Marylin” i podala prawidlowe rozwiazanie problemu Monty Halla
http://en.wikipedia.org/wiki/Marilyn_vos_Savant
Czy mógłby ktoś wytłumaczyć, dlaczego w 1. zadaniu rozwiązaniem jest liczba 5 ? :) Ja myślę tak: odchylenie standardowe jest miarą rozrzutu danych wokół średniej, zatem jeśli wynosi 7.5, a sama średnia 175cm, to najwyższy osobnik nie powinien mieć więcej niż 182.5cm :)
Gdzie tu popełniam błąd?
@ GZ
Tylko trzeba tam dodac warunek, ze gospodarz zawsze otwiera pusta bramke.
Ciekawa sprawa, wiecej trudnosci sprawia ta zagadka matematycznie zdolnym. Ludzie, ktorzy intuicyjnie nie pojmuja, ze 1,2,3,4,5,6 to kombnacja dobra jak kazda inna na Lotto latwiej akceptuja to przesuniecie prawdopodobienstwa.
@ kubarek
Przy rozkladzie normalnym, 95% wynikow lezy w granicach dwoch sigm, czyli dwoch odchylen standardowych. 99,7% wynikow lezy w granicach 3 sigm.
Gdzie popelniasz blad? Zakladasz, ze wyniki moga sie oddalic od sredniej tylko o 1 odchylenie standardowe.
Ah tak, rozumiem już, dzięki :)
@47
Chciałem zauważyć, że zadanie 1 przy tak sformułowanym pytaniu nie ma prawidłowej odpowiedzi! (purysta matematyk).
Gdybyśmy np. spytali ile najmniej potrzeba ekstra dużych biurek aby z prawd. ~100% wszyscy byli zadowoleni, to wtedy odpowiedź jest 5.
@17
wyprowadziłem sobie na kartce papieru wzór: ile się zarobi odkładając co miesiąc kwotę A na konto oprocentowane na P% w skali miesięcznej po N miesiącach. Posłużyłem się wzorem na sumę szeregu geometrycznego (chyba można poznać taki wzór w szkole podstawowej). Wyszło mi jak następuję:
([(1+P)^(N+1) - 1] / P)*A. (1+P) do potęgi (N+1) i od tego minus 1 i to wszystko podzielić przez P i to wszystko razy kwota A.
W tym czasie wpłaciliśmy na konto (N+1)*A (liczę od miesiąca zerowego do miesiąca N).
Zatem zarobek =
[([(1+P)^(N+1) - 1] / P) – (N+1)]*A
I jak podstawimy na P = 0.05/12 (5% w skali roku to 5%/12 na miesiąc) oraz N=20 lat * 12 = 240 miesięcy i kwota A = 900 zł to otrzymamy = 155472 zł
zobacz:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=(((1%2B0.05/12)^241-1)/(0.05/12)]-241]*900)
To jest suma, która z 18 razy przewyższa kwotę zysku 8 500 sł.
Pozdrawiam x.y.z
Można to wstawić pod adres wolfram alpha:
(((((1+0.05/12)^241-1)/(0.05/12))-241)*900)
@Trystero
“jest to wiedza, która można zdobyć w kilka, może kilkanaście, weekendów.”
Mógłbys podać parę źródeł z których można się w tych kwestiach podszolić?
Dla laików, chociaż rozumiejących dlaczego 1,2,3,4,5,6 to w lotto tak samo dobry kombinacja jak kazda inna;)
pozdrawiam